从头到尾彻底理解KMP

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发布时间：2019-06-19

本文共 16930 字，大约阅读时间需要 56 分钟。

从头到尾彻底理解KMP

作者：July
时间：最初写于2011年12月，2014年7月21日晚10点全部删除重写成此文，随后的半个多月不断反复改进。

1. 引言

本KMP原文最初写于2年多前的2011年12月，因当时初次接触KMP，思路混乱导致写也写得混乱。所以一直想找机会重新写下KMP，但苦于一直以来对KMP的理解始终不够，故才迟迟没有修改本文。

然近期因在北京开了个，专门讲解数据结构、面试、算法，才再次仔细回顾了这个KMP，在综合了一些网友的理解、以及跟我一起讲算法的两位讲师朋友曹博、邹博的理解之后，写了9张PPT，发在微博上。随后，一不做二不休，索性将PPT上的内容整理到了本文之中（后来文章越写越完整，所含内容早已不再是九张PPT 那样简单了）。

KMP本身不复杂，但网上绝大部分的文章（包括本文的2011年版本）把它讲混乱了。下面，咱们从暴力匹配算法讲起，随后阐述KMP的流程步骤、next 数组的简单求解递推原理代码求解，接着基于next 数组匹配，谈到有限状态自动机，next 数组的优化，KMP的时间复杂度分析，最后简要介绍两个KMP的扩展算法。

全文力图给你一个最为完整最为清晰的KMP，希望更多的人不再被KMP折磨或纠缠，不再被一些混乱的文章所混乱，有何疑问，欢迎随时留言评论，thanks。

2. 暴力匹配算法

假设现在我们面临这样一个问题：有一个文本串S，和一个模式串P，现在要查找P在S中的位置，怎么查找呢？

如果用暴力匹配的思路，并假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置，则有：

如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++，继续匹配下一个字符；

如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯，j 被置为0。

理清楚了暴力匹配算法的流程及内在的逻辑，咱们可以写出暴力匹配的代码，如下：

int ViolentMatch(char* s, char* p)  
{  
    int sLen = strlen(s);  
    int pLen = strlen(p);  
  
    int i = 0;  
    int j = 0;  
    while (i < sLen && j < pLen)  
    {  
        if (s[i] == p[j])  
        {  
            //①如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++      
            i++;  
            j++;  
        }  
        else  
        {  
            //②如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0      
            i = i - j + 1;  
            j = 0;  
        }  
    }  
    //匹配成功，返回模式串p在文本串s中的位置，否则返回-1  
    if (j == pLen)  
        return i - j;  
    else  
        return -1;  
}  

举个例子，如果给定文本串S“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和模式串P“ABCDABD”，现在要拿模式串P去跟文本串S匹配，整个过程如下所示：

1. S[0]为B，P[0]为A，不匹配，执行第②条指令：“如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0”，S[1]跟P[0]匹配，相当于模式串要往右移动一位（i=1，j=0）

2. S[1]跟P[0]还是不匹配，继续执行第②条指令：“如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0”，S[2]跟P[0]匹配（i=2，j=0），从而模式串不断的向右移动一位（不断的执行“令i = i - (j - 1)，j = 0”，i从2变到4，j一直为0）

3. 直到S[4]跟P[0]匹配成功（i=4，j=0），此时按照上面的暴力匹配算法的思路，转而执行第①条指令：“如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++”，可得S[i]为S[5]，P[j]为P[1]，即接下来S[5]跟P[1]匹配（i=5，j=1）

4. S[5]跟P[1]匹配成功，继续执行第①条指令：“如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++”，得到S[6]跟P[2]匹配（i=6，j=2），如此进行下去

5. 直到S[10]为空格字符，P[6]为字符D（i=10，j=6），因为不匹配，重新执行第②条指令：“如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0”，相当于S[5]跟P[0]匹配（i=5，j=0）

6. 至此，我们可以看到，如果按照暴力匹配算法的思路，尽管之前文本串和模式串已经分别匹配到了S[9]、P[5]，但因为S[10]跟P[6]不匹配，所以文本串回溯到S[5]，模式串回溯到P[0]，从而让S[5]跟P[0]匹配。

而S[5]肯定跟P[0]失配。为什么呢？因为在之前第4步匹配中，我们已经得知S[5] = P[1] = B，而P[0] = A，即P[1] != P[0]，故S[5]必定不等于P[0]，所以回溯过去必然会导致失配。那有没有一种算法，让i 不往回退，只需要移动j 即可呢？

答案是肯定的。这种算法就是本文的主旨KMP算法，它利用之前已经部分匹配这个有效信息，保持i 不回溯，通过修改j 的位置，让模式串尽量地移动到有效的位置。

3. KMP算法

3.1 定义

Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为 “KMP算法”，常用于在一个文本串S内查找一个模式串P 的出现位置，这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris三人于1977年联合发表，故取这3人的姓氏命名此算法。

下面先直接给出KMP的算法流程（

如果感到一点点不适，没关系，坚持下，稍后会有具体步骤及解释，越往后看越会柳暗花明☺）：

假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置
- 如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符；
- 如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]。此举意味着失配时，模式串P相对于文本串S向右移动了j - next [j] 位。
  - 换言之，当匹配失败时，模式串向右移动的位数为：失配字符所在位置 - 失配字符对应的next 值（next 数组的求解会在下文的中详细阐述），即移动的实际位数为：j - next[j]，且此值大于等于1。

很快，你也会意识到next 数组各值的含义：代表当前字符之前的字符串中，有多大长度的相同前缀后缀。例如如果next [j] = k，代表j 之前的字符串中有最大长度为

k 的相同前缀后缀。

此也意味着在某个字符失配时，该字符对应的next 值会告诉你下一步匹配中，模式串应该跳到哪个位置（跳到next [j] 的位置）。如果next [j] 等于0或-1，则跳到模式串的开头字符，若next [j] = k 且 k > 0，代表下次匹配跳到j 之前的某个字符，而不是跳到开头，且具体跳过了k 个字符。

转换成代码表示，则是：

int KmpSearch(char* s, char* p)  
{  
    int i = 0;  
    int j = 0;  
    int sLen = strlen(s);  
    int pLen = strlen(p);  
    while (i < sLen && j < pLen)  
    {  
        //①如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++      
        if (j == -1 || s[i] == p[j])  
        {  
            i++;  
            j++;  
        }  
        else  
        {  
            //②如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]      
            //next[j]即为j所对应的next值        
            j = next[j];  
        }  
    }  
    if (j == pLen)  
        return i - j;  
    else  
        return -1;  
}  

继续拿之前的例子来说，当S[10]跟P[6]匹配失败时，KMP不是跟暴力匹配那样简单的把模式串右移一位，而是执行第②条指令：“如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]”，即j 从6变到2（后面我们将求得P[6]，即字符D对应的next 值为2），所以相当于模式串向右移动的位数为j - next[j]（j - next[j] = 6-2 = 4）。

向右移动4位后，S[10]跟P[2]继续匹配。为什么要向右移动4位呢，因为移动4位后，模式串中又有个“AB”可以继续跟S[8]S[9]对应着，从而不用让i 回溯。相当于在除去字符D的模式串子串中寻找相同的前缀和后缀，然后根据前缀后缀求出next 数组，最后基于next 数组进行匹配（不关心next 数组是怎么求来的，只想看匹配过程是咋样的，可直接跳到下文）。

3.2 步骤

①寻找前缀后缀最长公共元素长度
- 对于P = p0 p1 ...pj-1 pj，寻找模式串P中长度最大且相等的前缀和后缀。如果存在p0 p1 ...pk-1 pk = pj- k pj-k+1...pj-1 pj，那么在包含pj的模式串中有最大长度为k+1的相同前缀后缀。举个例子，如果给定的模式串为“abab”，那么它的各个子串的前缀后缀的公共元素的最大长度如下表格所示：

比如对于字符串aba来说，它有长度为1的相同前缀后缀a；而对于字符串abab来说，它有长度为2的相同前缀后缀ab（相同前缀后缀的长度为k + 1，k + 1 = 2）。

②求next数组
- next 数组考虑的是除当前字符外的最长相同前缀后缀，所以通过第①步骤求得各个前缀后缀的公共元素的最大长度后，只要稍作变形即可：将第①步骤中求得的值整体右移一位，然后初值赋为-1，如下表格所示：

比如对于aba来说，第3个字符a之前的字符串ab中有长度为0的相同前缀后缀，所以第3个字符a对应的next值为0；而对于abab来说，第4个字符b之前的字符串aba中有长度为1的相同前缀后缀a，所以第4个字符b对应的next值为1（相同前缀后缀的长度为k，k = 1）。

③根据next数组进行匹配
- 匹配失配，j = next [j]，模式串向右移动的位数为：j - next[j]。换言之，当模式串的后缀pj-k pj-k+1, ..., pj-1 跟文本串si-k si-k+1, ..., si-1匹配成功，但pj 跟si匹配失败时，因为next[j] = k，相当于在不包含pj的模式串中有最大长度为k 的相同前缀后缀，即p0 p1 ...pk-1 = pj-k pj-k+1...pj-1，故令j = next[j]，从而让模式串右移j - next[j] 位，使得模式串的前缀p0 p1, ..., pk-1对应着文本串 si-k si-k+1, ..., si-1，而后让pk 跟si 继续匹配。如下图所示：

综上，KMP的next 数组相当于告诉我们：当模式串中的某个字符跟文本串中的某个字符匹配失配时，模式串下一步应该跳到哪个位置。如模式串中在j 处的字符跟文本串在i 处的字符匹配失配时，下一步用next [j] 处的字符继续跟文本串i 处的字符匹配，相当于模式串向右移动 j - next[j] 位。

接下来，分别具体解释上述3个步骤。

3.3 解释

3.3.1 寻找最长前缀后缀

如果给定的模式串是：“ABCDABD”，从左至右遍历整个模式串，其各个子串的前缀后缀分别如下表格所示：

也就是说，原模式串子串对应的各个前缀后缀的公共元素的最大长度表为（

下简称《最大长度表》）：

3.3.2 基于《最大长度表》匹配

因为模式串中首尾可能会有重复的字符，故可得出下述结论：

失配时，模式串向右移动的位数为：已匹配字符数 - 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值

下面，咱们就结合之前的《最大长度表》和上述结论，进行字符串的匹配。如果给定文本串“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和模式串“ABCDABD”，现在要拿模式串去跟文本串匹配，如下图所示：

1. 因为模式串中的字符A跟文本串中的字符B、B、C、空格一开始就不匹配，所以不必考虑结论，直接将模式串不断的右移一位即可，直到模式串中的字符A跟文本串的第5个字符A匹配成功：

2. 继续往后匹配，当模式串最后一个字符D跟文本串匹配时失配，显而易见，模式串需要向右移动。但向右移动多少位呢？因为此时已经匹配的字符数为6个（ABCDAB），然后根据《最大长度表》可得失配字符D的上一位字符B对应的长度值为2，所以根据之前的结论，可知需要向右移动6 - 2 = 4 位。

3. 模式串向右移动4位后，发现C处再度失配，因为此时已经匹配了2个字符（AB），且上一位字符B对应的最大长度值为0，所以向右移动：2 - 0 =2 位。

4. A与空格失配，向右移动1 位。

5. 继续比较，发现D与C 失配，故向右移动的位数为：已匹配的字符数6减去上一位字符B对应的最大长度2，即向右移动6 - 2 = 4 位。

6. 经历第5步后，发现匹配成功，过程结束。

通过上述匹配过程可以看出，问题的关键就是寻找模式串中最大长度的相同前缀和后缀，找到了模式串中每个字符之前的前缀和后缀公共部分的最大长度后，便可基于此匹配。而这个最大长度便正是next 数组要表达的含义。

3.3.3 根据《最大长度表》求next 数组

由上文，我们已经知道，字符串“ABCDABD”各个前缀后缀的最大公共元素长度分别为：

而且，根据这个表可以得出下述结论

失配时，模式串向右移动的位数为：已匹配字符数 - 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值

上文利用这个表和结论进行匹配时，我们发现，当匹配到一个字符失配时，其实没必要考虑当前失配的字符，更何况我们每次失配时，都是看的失配字符的上一位字符对应的最大长度值。如此，便引出了next 数组。

给定字符串“ABCDABD”，可求得它的next 数组如下：

把next 数组跟之前求得的最大长度表对比后，不难发现，next 数组相当于“最大长度值” 整体向右移动一位，然后初始值赋为-1。意识到了这一点，你会惊呼原来next 数组的求解竟然如此简单：就是找最大对称长度的前缀后缀，然后整体右移一位，初值赋为-1（当然，你也可以直接计算某个字符对应的next值，就是看这个字符之前的字符串中有多大长度的相同前缀后缀）。

换言之，对于给定的模式串：ABCDABD，它的最大长度表及next 数组分别如下：

根据最大长度表求出了next 数组后，从而有

失配时，模式串向右移动的位数为：失配字符所在位置 - 失配字符对应的next 值

而后，你会发现，无论是基于《最大长度表》的匹配，还是基于next 数组的匹配，两者得出来的向右移动的位数是一样的。为什么呢？因为：

根据《最大长度表》，失配时，模式串向右移动的位数 = 已经匹配的字符数 - 失配字符的上一位字符的最大长度值

而根据《next 数组》，失配时，模式串向右移动的位数 = 失配字符的位置 - 失配字符对应的next 值
- 其中，从0开始计数时，失配字符的位置 = 已经匹配的字符数（失配字符不计数），而失配字符对应的next 值 = 失配字符的上一位字符的最大长度值，两相比较，结果必然完全一致。

所以，你可以把《最大长度表》看做是next 数组的雏形，甚至就把它当做next 数组也是可以的，区别不过是怎么用的问题。

3.3.4 通过代码递推计算next 数组

接下来，咱们来写代码求下next 数组。

基于之前的理解，可知计算next 数组的方法可以采用递推：

1. 如果对于值k，已有p0 p1, ..., pk-1 = pj-k pj-k+1, ..., pj-1，相当于next[j] = k。
- 此意味着什么呢？究其本质，next[j] = k 代表p[j] 之前的模式串子串中，有长度为k 的相同前缀和后缀。有了这个next 数组，在KMP匹配中，当模式串中j 处的字符失配时，下一步用next[j]处的字符继续跟文本串匹配，相当于模式串向右移动j - next[j] 位。

举个例子，如下图，根据模式串“ABCDABD”的next 数组可知失配位置的字符D对应的next 值为2，代表字符D前有长度为2的相同前缀和后缀（这个相同的前缀后缀即为“AB”），失配后，模式串需要向右移动j - next [j] = 6 - 2 =4位。

向右移动4位后，模式串中的字符C继续跟文本串匹配。

2. 下面的问题是：已知next [0, ..., j]，如何求出next [j + 1]呢？

对于P的前j+1个序列字符：

若p[k] == p[j]，则next[j + 1 ] = next [j] + 1 = k + 1；

若p[k ] ≠ p[j]，如果此时p[ next[k] ] == p[j ]，则next[ j + 1 ] = next[k] + 1，否则继续递归前缀索引k = next[k]，而后重复此过程。相当于在字符p[j+1]之前不存在长度为k+1的前缀"p0 p1, …, pk-1 pk"跟后缀“pj-k pj-k+1, …, pj-1 pj"相等，那么是否可能存在另一个值t+1 < k+1，使得长度更小的前缀 “p0 p1, …, pt-1 pt” 等于长度更小的后缀 “pj-t pj-t+1, …, pj-1 pj” 呢？如果存在，那么这个t+1 便是next[ j+1]的值，此相当于利用已经求得的next 数组（next [0, ..., k, ..., j]）进行P串前缀跟P串后缀的匹配。

一般的文章或教材可能就此一笔带过，但大部分的初学者可能还是不能很好的理解上述求解next 数组的原理，故接下来，我再来着重说明下。

如下图所示，假定给定模式串ABCDABCE，且已知next [j] = k（相当于“p0 pk-1” = “pj-k pj-1” = AB，可以看出k为2），现要求next [j + 1]等于多少？因为pk = pj = C，所以next[j + 1] = next[j] + 1 = k + 1（可以看出next[j + 1] = 3）。代表字符E前的模式串中，有长度k+1 的相同前缀后缀。

但

如果pk != pj 呢？说明“p0 pk-1 pk” ≠ “pj-k pj-1 pj”。换言之，当pk != pj后，字符E前有多大长度的相同前缀后缀呢？很明显，因为C不同于D，所以ABC 跟 ABD不相同，即字符E前的模式串没有长度为k+1的相同前缀后缀，也就不能再简单的令：next[j + 1] = next[j] + 1 。所以，咱们只能去寻找长度更短一点的相同前缀后缀。

结合上图来讲，若能

在前缀

“ p0 pk-1 pk ” 中不断的递归前缀索引k = next [k]，找到一个字符pk’ 也为D，代表pk’ = pj，且满足p0 pk'-1 pk' = pj-k' pj-1 pj，则最大相同的前缀后缀长度为k' + 1，从而next [j + 1] = k’ + 1 = next [k' ] + 1。否则前缀中没有D，则代表没有相同的前缀后缀，next [j + 1] = 0。

那

为何递归前缀索引k = next[k]，就能找到长度更小的相同前缀后缀呢？这又归根到next数组的含义。

为了寻找长度相同的前缀后缀，我们拿前缀 p0 pk-1 pk 去跟后缀pj-k pj-1 pj匹配，如果pk 跟pj 失配，下一步就是用p[next[k]] 去跟pj 继续匹配，如果p[ next[k] ]跟pj还是不匹配，则下一步用p[ next[ next[k] ] ]去跟pj匹配。相当于模式串的自我匹配，所以不断的递归k = next[k]，直到要么找到长度更小的相同前缀后缀，要么没有长度更小的相同前缀后缀。

所以，因最终在前缀ABC中没有找到D，故E的next 值为0：

模式串的后缀：AB
DE

模式串的前缀：AB
C

前缀右移两位：
ABC

读到此，有的读者可能又有疑问了，那能否举一个能在前缀中找到字符D的例子呢？OK，咱们便来看一个能在前缀中找到字符D的例子，如下图所示：

给定模式串DABCDABDE，我们很顺利的求得字符D之前的“DABCDAB”的各个子串的最长相同前缀后缀的长度分别为0 0 0 0 1 2 3，但当遍历到字符D，要求包括D在内的“DABCDABD”最长相同前缀后缀时，我们发现pj处的字符D跟pk处的字符C不一样，换言之，前缀DABC的最后一个字符C 跟后缀DABD的最后一个字符D不相同，所以不存在长度为4的相同前缀后缀。

怎么办呢？既然没有长度为4的相同前缀后缀，咱们可以寻找长度短点的相同前缀后缀，最终，因在p0处发现也有个字符D，p0 = pj，所以p[j]对应的长度值为1，相当于E对应的next 值为1（即字符E之前的字符串“DABCDABD”中有长度为1的相同前缀和后缀）。

综上，可以通过递推求得next 数组，代码如下所示：

void GetNext(char* p,int next[])  
{  
    int pLen = strlen(p);  
    next[0] = -1;  
    int k = -1;  
    int j = 0;  
    while (j < pLen - 1)  
    {  
        //p[k]表示前缀，p[j]表示后缀  
        if (k == -1 || p[j] == p[k])   
        {  
            ++k;  
            ++j;  
            next[j] = k;  
        }  
        else   
        {  
            k = next[k];  
        }  
    }  
}  

用代码重新计算下“ABCDABD”的next 数组，以验证之前通过“最长相同前缀后缀长度值右移一位，然后初值赋为-1”得到的next 数组是否正确，计算结果如下表格所示：

从上述表格可以看出，无论是之前通过“最长相同前缀后缀长度值右移一位，然后初值赋为-1”得到的next 数组，还是之后通过代码递推计算求得的next 数组，结果是完全一致的。

3.3.5 基于《next 数组》匹配

下面，我们来基于next 数组进行匹配。

还是给定文本串“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和模式串“ABCDABD”，现在要拿模式串去跟文本串匹配，如下图所示：

在正式匹配之前，让我们来再次回顾下上文2.1节所述的KMP算法的匹配流程：

“假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置
- 如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符；
- 如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]。此举意味着失配时，模式串P相对于文本串S向右移动了j - next [j] 位。
  - 换言之，当匹配失败时，模式串向右移动的位数为：失配字符所在位置 - 失配字符对应的next 值，即移动的实际位数为：j - next[j]，且此值大于等于1。”

1. 最开始匹配时
- P[0]跟S[0]匹配失败
  - 所以执行“如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]”，所以j = -1，故转而执行“如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++”，得到i = 1，j = 0，即P[0]继续跟S[1]匹配。
- P[0]跟S[1]又失配，j再次等于-1，i、j继续自增，从而P[0]跟S[2]匹配。
- P[0]跟S[2]失配后，P[0]又跟S[3]匹配。
- P[0]跟S[3]再失配，直到P[0]跟S[4]匹配成功，开始执行此条指令的后半段：“如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++”。

2. P[1]跟S[5]匹配成功，P[2]跟S[6]也匹配成功, ...，直到当匹配到P[6]处的字符D时失配（即S[10] != P[6]），由于P[6]处的D对应的next 值为2，所以下一步用P[2]处的字符C继续跟S[10]匹配，相当于向右移动：j - next[j] = 6 - 2 =4 位。

3. 向右移动4位后，P[2]处的C再次失配，由于C对应的next值为0，所以下一步用P[0]处的字符继续跟S[10]匹配，相当于向右移动：j - next[j] = 2 - 0 = 2 位。

4. 移动两位之后，A 跟空格不匹配，模式串后移1 位。

5. P[6]处的D再次失配，因为P[6]对应的next值为2，故下一步用P[2]继续跟文本串匹配，相当于模式串向右移动 j - next[j] = 6 - 2 = 4 位。

6. 匹配成功，过程结束。

匹配过程一模一样。也从侧面佐证了，next 数组确实是只要将各个最大前缀后缀的公共元素的长度值右移一位，且把初值赋为-1 即可。

3.3.6 基于《最大长度表》与基于《next 数组》等价

我们已经知道，利用next 数组进行匹配失配时，模式串向右移动 j - next [ j ] 位，等价于已匹配字符数 - 失配字符的上一位字符所对应的最大长度值。原因是：

j 从0开始计数，那么当数到失配字符时，j 的数值就是已匹配的字符数；

由于next 数组是由最大长度值表整体向右移动一位（且初值赋为-1）得到的，那么失配字符的上一位字符所对应的最大长度值，即为当前失配字符的next 值。

但为何本文不直接利用next 数组进行匹配呢？因为next 数组不好求，而一个字符串的前缀后缀的公共元素的最大长度值很容易求。例如若给定模式串“ababa”，要你快速口算出其next 数组，乍一看，每次求对应字符的next值时，还得把该字符排除之外，然后看该字符之前的字符串中有最大长度为多大的相同前缀后缀，此过程不够直接。而如果让你求其前缀后缀公共元素的最大长度，则很容易直接得出结果：0 0 1 2 3，如下表格所示：

然后这5个数字全部整体右移一位，且初值赋为-1，即得到其next 数组：-1 0 0 1 2。

3.3.7 Next 数组与有限状态自动机

next 负责把模式串向前移动，且当第j位不匹配的时候，用第next[j]位和主串匹配，就像打了张“表”。此外，next 也可以看作有限状态自动机的状态，在已经读了多少字符的情况下，失配后，前面读的若干个字符是有用的。

3.3.8 Next 数组的优化

行文至此，咱们全面了解了暴力匹配的思路、KMP算法的原理、流程、流程之间的内在逻辑联系，以及next 数组的简单求解（《最大长度表》整体右移一位，然后初值赋为-1）和代码求解，最后基于《next 数组》的匹配，看似洋洋洒洒，清晰透彻，但以上忽略了一个小问题。

比如，如果用之前的next 数组方法求模式串“abab”的next 数组，可得其next 数组为-1 0 0 1（0 0 1 2整体右移一位，初值赋为-1），当它跟下图中的文本串去匹配的时候，发现b跟c失配，于是模式串右移j - next[j] = 3 - 1 =2位。

右移2位后，b又跟c失配。事实上，因为在上一步的匹配中，已经得知p[3] = b，与s[3] = c失配，而右移两位之后，让p[ next[3] ] = p[1] = b 再跟s[3]匹配时，必然失配。问题出在哪呢？

问题出在不该出现p[j] = p[ next[j] ]。为什么呢？理由是：当p[j] != s[i] 时，下次匹配必然是p[ next [j]] 跟s[i]匹配，如果p[j] = p[ next[j] ]，必然导致后一步匹配失败（因为p[j]已经跟s[i]失配，然后你还用跟p[j]等同的值p[next[j]]去跟s[i]匹配，很显然，必然失配），所以不能允许p[j] = p[ next[j ]]。如果出现了p[j] = p[ next[j] ]咋办呢？如果出现了，则需要再次递归，即令next[j] = next[ next[j] ]。

所以，咱们得修改下求next 数组的代码。

//优化过后的next 数组求法  
void GetNextval(char* p, int next[])  
{  
    int pLen = strlen(p);  
    next[0] = -1;  
    int k = -1;  
    int j = 0;  
    while (j < pLen - 1)  
    {  
        //p[k]表示前缀，p[j]表示后缀    
        if (k == -1 || p[j] == p[k])  
        {  
            ++j;  
            ++k;  
            //较之前next数组求法，改动在下面4行  
            if (p[j] != p[k])  
                next[j] = k;   //之前只有这一行  
            else  
                //因为不能出现p[j] = p[ next[j ]]，所以当出现时需要继续递归，k = next[k] = next[next[k]]  
                next[j] = next[k];  
        }  
        else  
        {  
            k = next[k];  
        }  
    }  
}  

利用优化过后的next 数组求法，可知模式串“abab”的新next数组为：-1 0 -1 0。可能有些读者会问：原始next 数组是前缀后缀最长公共元素长度值右移一位，然后初值赋为-1而得，那么优化后的next 数组如何快速心算出呢？实际上，只要求出了原始next 数组，便可以根据原始next 数组快速求出优化后的next 数组。还是以abab为例，如下表格所示：

只要出现了p[next[j]] = p[j]的情况，则把next[j]的值再次递归。例如在求模式串“abab”的第2个a的next值时，如果是未优化的next值的话，第2个a对应的next值为0，相当于第2个a失配时，下一步匹配模式串会用p[0]处的a再次跟文本串匹配，必然失配。所以求第2个a的next值时，需要再次递归：next[2] = next[ next[2] ] = next[0] = -1（此后，根据优化后的新next值可知，第2个a失配时，执行“如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符”），同理，第2个b对应的next值为0。

对于优化后的next数组可以发现一点：如果模式串的后缀跟前缀相同，那么它们的next值也是相同的，例如模式串abcabc，它的前缀后缀都是abc，其优化后的next数组为：-1 0 0 -1 0 0，前缀后缀abc的next值都为-1 0 0。

然后引用下之前3.1节的KMP代码：

int KmpSearch(char* s, char* p)  
{  
    int i = 0;  
    int j = 0;  
    int sLen = strlen(s);  
    int pLen = strlen(p);  
    while (i < sLen && j < pLen)  
    {  
        //①如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++      
        if (j == -1 || s[i] == p[j])  
        {  
            i++;  
            j++;  
        }  
        else  
        {  
            //②如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]      
            //next[j]即为j所对应的next值        
            j = next[j];  
        }  
    }  
    if (j == pLen)  
        return i - j;  
    else  
        return -1;  
}  

接下来，咱们继续拿之前的例子说明，整个匹配过程如下：

1. S[3]与P[3]匹配失败。

2. S[3]保持不变，P的下一个匹配位置是P[next[3]]，而next[3]=0，所以P[next[3]]=P[0]与S[3]匹配。

3. 由于上一步骤中P[0]与S[3]还是不匹配。此时i=3，j=next [0]=-1，由于满足条件j==-1，所以执行“++i, ++j”，即主串指针下移一个位置，P[0]与S[4]开始匹配。最后j==pLen，跳出循环，输出结果i - j = 4（即模式串第一次在文本串中出现的位置），匹配成功，算法结束。

3.4 KMP的时间复杂度分析

相信大部分读者读完上文之后，已经发觉其实理解KMP非常容易，无非是循序渐进把握好下面几点：

如果模式串中存在相同前缀和后缀，即pj-k pj-k+1, ..., pj-1 = p0 p1, ..., pk-1，那么在pj跟si失配后，让模式串的前缀p0 p1...pk-1对应着文本串si-k si-k+1...si-1，而后让pk跟si继续匹配。

之前本应是pj跟si匹配，结果失配了，失配后，令pk跟si匹配，相当于j 变成了k，模式串向右移动j - k位。

因为k 的值是可变的，所以我们用next[j]表示j处字符失配后，下一次匹配模式串应该跳到的位置。换言之，失配前是j，pj跟si失配时，用p[ next[j] ]继续跟si匹配，相当于j变成了next[j]，所以，j = next[j]，等价于把模式串向右移动j - next [j] 位。

而next[j]应该等于多少呢？next[j]的值由j 之前的模式串子串中有多大长度的相同前缀后缀所决定，如果j 之前的模式串子串中（不含j）有最大长度为k的相同前缀后缀，那么next [j] = k。

如之前的图所示：

接下来，咱们来分析下KMP的时间复杂度。分析之前，先来回顾下KMP匹配算法的流程：

“KMP的算法流程：

假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置
- 如果j = -1，或者当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），都令i++，j++，继续匹配下一个字符；
- 如果j != -1，且当前字符匹配失败（即S[i] != P[j]），则令 i 不变，j = next[j]。此举意味着失配时，模式串P相对于文本串S向右移动了j - next [j] 位。”

我们发现如果某个字符匹配成功，模式串首字符的位置保持不动，仅仅是i++、j++；如果匹配失配，i 不变（即 i 不回溯），模式串会跳过匹配过的next [j]个字符。整个算法最坏的情况是，当模式串首字符位于i - j的位置时才匹配成功，算法结束。

所以，如果文本串的长度为n，模式串的长度为m，那么匹配过程的时间复杂度为O(n)，算上计算next的O(m)时间，KMP的整体时间复杂度为O(m + n)。

4. 扩展1：BM算法

KMP的匹配是从模式串的开头开始匹配的，而1977年，德克萨斯大学的Robert S. Boyer教授和J Strother Moore教授发明了一种新的字符串匹配算法：Boyer-Moore算法，简称BM算法。该算法从模式串的尾部开始匹配，且拥有在最坏情况下O(N)的时间复杂度。在实践中，比KMP算法的实际效能高。

BM算法定义了两个规则：

坏字符规则：当文本串中的某个字符跟模式串的某个字符不匹配时，我们称文本串中的这个失配字符为坏字符，此时模式串需要向右移动，移动的位数 = 坏字符在模式串中的位置 - 坏字符在模式串中最右出现的位置。此外，如果"坏字符"不包含在模式串之中，则最右出现位置为-1。

好后缀规则：当字符失配时，后移位数 = 好后缀在模式串中的位置 - 好后缀在模式串上一次出现的位置，且如果好后缀在模式串中没有再次出现，则为-1。

下面举例说明BM算法。例如，给定文本串“HERE IS A SIMPLE EXAMPLE”，和模式串“EXAMPLE”，现要查找模式串是否在文本串中，如果存在，返回模式串在文本串中的位置。

1. 首先，"文本串"与"模式串"头部对齐，从尾部开始比较。"S"与"E"不匹配。这时，"S"就被称为"坏字符"（bad character），即不匹配的字符，它对应着模式串的第6位。且"S"不包含在模式串"EXAMPLE"之中（相当于最右出现位置是-1），这意味着可以把模式串后移6-(-1)=7位，从而直接移到"S"的后一位。

2. 依然从尾部开始比较，发现"P"与"E"不匹配，所以"P"是"坏字符"。但是，"P"包含在模式串"EXAMPLE"之中。因为“P”这个“坏字符”对应着模式串的第6位（从0开始编号），且在模式串中的最右出现位置为4，所以，将模式串后移6-4=2位，两个"P"对齐。

3. 依次比较，得到 “MPLE”匹配，称为"好后缀"（good suffix），即所有尾部匹配的字符串。注意，"MPLE"、"PLE"、"LE"、"E"都是好后缀。

4. 发现“I”与“A”不匹配：“I”是坏字符。如果是根据坏字符规则，此时模式串应该后移2-(-1)=3位。问题是，有没有更优的移法？

5. 更优的移法是利用好后缀规则：当字符失配时，后移位数 = 好后缀在模式串中的位置 - 好后缀在模式串中上一次出现的位置，且如果好后缀在模式串中没有再次出现，则为-1。
所有的“好后缀”（MPLE、PLE、LE、E）之中，只有“E”在“EXAMPLE”的头部出现，所以后移6-0=6位。
可以看出，“坏字符规则”只能移3位，“好后缀规则”可以移6位。每次后移这两个规则之中的较大值。这两个规则的移动位数，只与模式串有关，与原文本串无关。

6. 继续从尾部开始比较，“P”与“E”不匹配，因此“P”是“坏字符”，根据“坏字符规则”，后移 6 - 4 = 2位。因为是最后一位就失配，尚未获得好后缀。

由上可知，BM算法不仅效率高，而且构思巧妙，容易理解。

5. 扩展2：Sunday算法

上文中，我们已经介绍了KMP算法和BM算法，这两个算法在最坏情况下均具有线性的查找时间。但实际上，KMP算法并不比最简单的c库函数strstr()快多少，而BM算法虽然通常比KMP算法快，但BM算法也还不是现有字符串查找算法中最快的算法，本文最后再介绍一种比BM算法更快的查找算法即Sunday算法。

Sunday算法由Daniel M.Sunday在1990年提出，它的思想跟BM算法很相似：